（06年江苏卷）（14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边

（06年江苏卷）（14分）

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B－A₁P－F的大小（用反三角函数表示）

本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。

解析：解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3

（1）       在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=60⁰ , ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在图2中，A₁E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A₁EB为二面角A_1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A₁E⊥BE,又∴A₁E⊥平面BEF,即 A₁E⊥平面BEP

（2）       在图2中，A₁E不垂直A₁B, ∴A₁E是平面A₁BP的垂线，又A₁E⊥平面BEP，

∴A₁E⊥BE.从而BP垂直于A₁E在平面A₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q,且A₁Q交BP于点Q,则∠E₁AQ就是A₁E与平面A₁BP所成的角,且BP⊥A₁Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=60⁰ , ∴△EBP是等边三角形.又 A₁E⊥平面BEP , ∴A₁B=A₁P, ∴Q为BP的中点,且,又 A₁E=1,在Rt△A₁EQ中，,∴∠EA₁Q=60^o, ∴直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60⁰

在图3中，过F作FM⊥ A₁P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=60⁰,

∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有∴PF=PQ①,

∵A₁E⊥平面BEP,  ∴A₁E=A₁Q,

∴△A₁FP≌△A₁QP从而∠A₁PF=∠A₁PQ②,

由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,

∴∠QMP=∠FMP=90^o,且MF=MQ,

从而∠FMQ为二面角B－A₁P－F的平面角.

 在Rt△A₁QP中,A₁Q=A₁F=2,PQ=1,又∴. ∵ MQ⊥A₁P∴∴在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=60⁰,由余弦定理得

在△FMQ中，

∴二面角B－A₁P－F的大小为