已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的左顶点为A,上顶点为B,左焦点F

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的左顶点为A,上顶点为B,左焦点F到直线AB的距离为|OB|,求椭圆的离心率.

答案

解析:

解法一:直线AB的方程为+=1,即bx-ay+ab=0,

∴d==b.

∵a²-b²=c²,a>b,a>c,

∴5a²-14ac+8c²=0.

∴8e²-14e+5=0.

解得e=或e=(舍).

解法二:如图,作F₁D⊥AB于D,则|F₁D|=|OB|=b.

由△AF₁D∽△ABO,得.

∴5a²-14ac+8c²=0.

∴8e²-14e+5=0.解得e=或e=(舍).

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