（ 25分）如图预18－7所示，在半径为
的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为
的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者．在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为
的刚性等边三角形框架
，其中心
位于圆柱的轴线上．
边上
点（
）处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图预18-7中截面内且垂直于
边向下．发射粒子的电量皆为
（＞0），质量皆为
，但速度
有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边．试问：
1．带电粒子速度
的大小取哪些数值时可使
点发出的粒子最终又回到
点？
2. 这些粒子中，回到
点所用的最短时间是多少？
参考解答
带电粒子（以下简称粒子）从
点垂直于
边以速度
射出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心一定位于
边上，其半径
可由下式
求得，为
（1）
1. 要求此粒子每次与
的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到
点，则
和
应满足以下条件：
（ⅰ）与边垂直的条件．
由于碰撞时速度
与边垂直，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于
的边上，粒子绕过
顶点
、
、
时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即
、
、
）上．粒子从
点开始向右作圆周运动，其轨迹为一系列半径为
的半圆，在
边上最后一次的碰撞点与
点的距离应为
，所以
的长度应是
的奇数倍。粒子从
边绕过
点转回到
点时，情况类似，即
的长度也应是轨道半径的奇数倍．取
，则当
的长度被奇数除所得的
也满足要求，即
＝1，2，3，…
因此为使粒子与
各边发生垂直碰撞，
必须满足下面的条件
（2）
此时 
为
的奇数倍的条件自然满足．只要粒子绕过
点与
边相碰，由对称关系可知，以后的碰撞都能与
的边垂直．
（ⅱ）粒子能绕过顶点与
的边相碰的条件．
由于磁场局限于半径为
的圆柱范围内，如果粒子在绕
点运动时圆轨迹与磁场边界相交，它将在相交点处以此时的速度方向沿直线运动而不能返回．所以粒子作圆周运动的半径
不能太大，由图预解18-7可见，必须
（
的顶点沿圆柱半径到磁场边界的距离，
时，粒子圆运动轨迹与圆柱磁场边界相切），由给定的数据可算得
（3）
将
1，2，3，…，分别代入（2）式，得
由于
，
，
≥
，这些粒子在绕过
的顶点
时，将从磁场边界逸出，只有
≥4的粒子能经多次碰撞绕过
、
、
点，最终回到
点．由此结论及（1）、（2）两式可得与之相应的速度
（4）
这就是由
点发出的粒子与
的三条边垂直碰撞并最终又回到
点时，其速度大小必须满足的条件
．
2. 这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为
将（1）式代入，得
（5）
可见在
及
给定时
与
无关。粒子从
点出发最后回到
点的过程中，与
的边碰撞次数愈少，所经历的时间就愈少，所以应取
，如图预解18-7所示（图中只画出在边框
的碰撞情况），此时粒子的速度为
，由图可看出该粒子的轨迹包括3×13个半圆和3个圆心角为300�的圆弧，所需时间为
（6）
以（5）式代入得
（7）