设a,b,c是某三角形的三边长,T是该三角形的面积,证明a2+b2+c2≥T,并问何

设a,b,c是某三角形的三边长,T是该三角形的面积,证明a²+b²+c²≥T,并问何时取等号?

答案

证明:根据Heron公式,需证明不等式等价于(a²+b²+c²)²≥3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

=3［(b+c)²-a²］·［a²-(b-c)²］

=3［(2bc)²-(a²-b²-c²）²］,

这又等价于要证明

a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²,

它由排序不等式可立即得到,这就证明了

a²+b²+c²≥T,等号当且仅当a²=b²=c²,即a=b=c时成立.

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