如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
⊥AC，
M是
的中点，N是BC的中点，点P在直线
上，且满足
.
（Ⅰ）当
取何值时，直线PN与平面ABC所成的角
最大？并求sin的值；
（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为
，试确定点P的位置.
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，
M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.
（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求sin的值；
（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.
解：（1）以AB,AC,
分别为
轴，建立空间直角坐标系
，则
，——————————————————————3
平面ABC的一个法向量为
则
（*）
于是问题转化为二次函数求最值，而
当最大时，
最大，所以当
时，
.———————————————————7
（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为
，即可得到平面ABC的一个法向量为
，设平面PMN的一个法向量为
，
.
由
得
，解得
.—————10
令
于是由
，
解得
的延长线上，且
.————————————14.