已知直线kx﹣y+2k﹣1=0恒过定点A，点A也在直线mx+ny+1=0上，其中m、n均

已知直线kx﹣y+2k﹣1=0恒过定点A，点A也在直线mx+ny+1=0上，其中m、n均为正数，则+的最小值为(     )

A．2    B．4    C．8    D．6

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

【专题】空间位置关系与距离；空间角．

【分析】方法一：

（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；

（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；

（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函数即可求解；

方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a

（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PA∥EG，可得结论；

（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；

（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．

【解答】方法一：

（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，

所以，PA∥平面EDB

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC    ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC

而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE    ②

由①和②推得DE⊥平面PBC

而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD

（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角

由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB

设正方形ABCD的边长为a，则，

在Rt△PDB中，

在Rt△EFD中，，∴

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为；

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a

（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG

依题意得

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

∴，这表明PA∥EG

而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB

（2）证明；依题意得B（a，a，0），

又，故

∴PB⊥DE

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD

（3）解：设点F的坐标为（x₀，y₀，z₀），，则（x₀，y₀，z₀﹣a）=λ（a，a，﹣a）

从而x₀=λa，y₀=λa，z₀=（1﹣λ）a

所以

由条件EF⊥PB知，，即，解得

∴点F的坐标为，且，

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角

∵，且，，

∴

∴

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．

【点评】本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．