(本小题满分14分)设函数
在
上的导函数为
，在上的导函数为
，若在上，
恒成立，则称函数
在上为“凸函数”．已知
．
(1)若为区间
上的“凸函数”，试确定实数
的值；
(2)若当实数满足
时，函数在上总为“凸函数”，求
的最大值．
(本小题满分14分)设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．
(1)若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；
(2)若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．
【解析】本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识.
解：由函数
得，
…………3分
(Ⅰ) 若
为区间
上的“凸函数”，则有
在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当
，
即
． …………………………………………………7分
(Ⅱ)当
时，恒成立
当时，
恒成立． ……………………………………………………………8分
当
时，
显然成立。 …………………………………9分
当
，
∵
的最小值是
．
∴
．
从而解得
…………………………………………11分
当
，
∵的最大值是
，∴
，
从而解得
． ……………………………13分
综上可得
，从而
……………14分