已知函数
．
（1）求函数
的单调区间；
（2）设
，求在
上的最大值；
（3）试证明：对任意
，不等式
恒成立．
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，求在上的最大值；
（3）试证明：对任意，不等式恒成立．
解：（1）∵
令
得
显然
是上方程的解
令
，
，则
∴函数
在
上单调递增
∴是方程的唯一解
∵当
时，当
时
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减………………５分
（2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减
故①当
即
时在
上单调递增
∴
＝
②当
时在上单调递减
∴
＝
③当
，即
时
……………………………………………………10分
（3）由（1）知当时，
∴在上恒有
，当且仅当时“＝”成立
∴对任意的恒有
∵
∴
即对
，不等式
恒成立．………………………14分