,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立. 
,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立. 证法一：
记G=,令bi=
(i=1,2,…,n),则原不等式
b1+b2+…+bn≥n,其中b1·b2·…·bn=1.取x1,x2,…,xn,使b1=
,b2=
,…,bn-1=
,
则bn=
,由排序不等式易证
b1+b2+…+bn=
+
+…+
≥n,
当且仅当x1=x2=x3=…=xn时等号成立,
∴原不等式成立,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.
证法二：
令ti=
(i=1,2,…,n),则tn=1,∴正数序列t1,t2,…,tn及
,
,…,
对应大小次序正好相反.
∴n=t1·
+t2·
+…+tn·
≤t1·
+t2·
+…+tn·
,
即n≤
.
∴G≤
.
∴当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.