如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AB=AC=1，

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．

（1）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；

（2）求证：AB₁∥平面A₁DC；

（3）求三棱锥C₁﹣A₁CD的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．

【分析】（1）先证明AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥AD，再利用线面垂直的判定定理，即可证明AD⊥平面BCC₁B₁；

（2）利用三角形中位线的性质，证明A₁B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A₁B∥平面AC₁D；

（3）利用等体积转化法求解三棱锥C₁﹣A₁CD的体积即可．

【解答】（1）证明：AC∩AB=A，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，

AC∩AB=A，

AC，AB⊂平面ABC，∴AA₁⊥平面ABC．

∵AA₁∥CC₁，∴CC₁⊥平面ABC，∴平面平面BB₁C₁C⊥平面ABC，…

∴平面平面BB₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁，D是B₁C₁中点，AB=AC=1，

∴A₁D⊥B₁C₁

∴A₁D⊥平面BB₁C₁C；…

（2）证明：连结A₁C，交AC₁于点O，连结OD，

因为ACC₁A₁为正方形，所以O为AC₁中点，

又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线，

所以A₁B∥OD，…

因为OD⊂平面AC₁D，AB₁⊄平面AC₁D，

所以A₁B∥平面AC₁D…

（3）由（1）可知A₁A三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的高   …

侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点，…，

即三棱锥C₁﹣A₁CD的体积为：．…

【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．