（04年广东卷）（12分）
设函数
，其中常数
为整数
(I)当为何值时，
(II)定理：若函数
在
上连续，且
与
异号，则至少存在一点
，使得
试用上述定理证明：当整数
时，方程
在
内有两个实根
（04年广东卷）（12分）
设函数，其中常数为整数
(I)当为何值时，
(II)定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得
试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根
解析：（I）函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且
当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)
根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且
对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m
故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0
(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,
函数f(x)=x-ln(x+m),在
上为连续减函数.
由所给定理知，存在唯一的
而当整数m>1时，
类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在
上为连续增函数且 f(1-m)与
异号，由所给定理知，存在唯一的
故当m>1时，方程f(x)=0在
内有两个实根。