已知函数f（x）=x（x+a）-lnx，其中a为常数．
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）是区间
内的单调函数，求实数a的取值范围；
（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．
已知函数f（x）=x（x+a）-lnx，其中a为常数．
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围；
（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．
解：（1）当a=-1时，
，
所以f（x）在区间
内单调递减，在
内单调递增．于是f（x）有极小值
，无极大值．------------4分
（2）易知
在区间内单调递增，所以由题意可得
在内无解，即
或
，解得实数a的取值范围是
．------8分
（3）设切点
，则切线方程为
．
因为过原点，所以
，化简得
（※）．
设
，则
，所以
在区间
内单调递增．又
，故方程（※）有唯一实根
，从而满足条件的切线只有一条．-----------12分