某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π立方米，底面半径都是r米.如果制造底面的材料费用为a元/平方米，制造侧面的材料费用为b元/平方米，其中
＞1，设计时材料的厚度忽略不计.
（1）试将制造每个容器的成本y（单位：元）表示成底面半径r（单位：米）的函数；
（2）若要求底面半径r满足1≤r≤3（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？
某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π立方米，底面半径都是r米.如果制造底面的材料费用为a元/平方米，制造侧面的材料费用为b元/平方米，其中＞1，设计时材料的厚度忽略不计.
（1）试将制造每个容器的成本y（单位：元）表示成底面半径r（单位：米）的函数；
（2）若要求底面半径r满足1≤r≤3（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？
1）设每个容器的高为h米，则圆柱的体积为V＝πr2h＝π，即r2h＝1.
所以，制造成本y＝2πrhb＋πr2a＝(
b＋r2a)π（r＞0）.
（2）y'＝2π(ar－
)，令y'＝0，则有r＝
.
列表得：
| r | （0， |
| （ |
| y' | － | 0 | ＋ |
| y | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
（i）当≥3，即≥27，则函数y在[1,3]上单调递减，
所以当r＝3时，y取得最小值，此时底面半径应设计成3米.
（ii）当1＜＜3，即1＜＜27，则函数y在[1,]上单调递减，在[,3]上单调递增，
所以当r＝时，y取得最小值，此时底面半径应设计成米.
综上，当≥27时，应将底面半径设计成3米；当1＜＜27时，应将底面半径设计成米.
【说明】考查圆柱体的体积及表面积的计算，利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，分类讨论思想的运用，考查学生解决实际问题的能力.