已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，且a5=6． （1）求{an}的前9项的和S

已知数列{a_n}是公差d≠0的等差数列，且a₅=6．

（1）求{a_n}的前9项的和S₉；

（2）若a₃=3，问在数列{a_n}中是否存在一项a_m（m是正整数），使得a₃，a₅，a_m成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在自然数n₁，n₂，n₃，…，n_t（t是正整数），满足5＜n₁＜n₂＜n₃＜…＜n_t，使得a₃，a₅，a_n1，

a_n2…，a_nt成等比数列，求所有整数a₃的值．

【考点】等差数列的性质．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．

（2）由a₃=3，且a₅=6．可得，可得a_n=．假设存在一项a_m（m是正整数），使得a₃，a₅，a_m成等比数列，可得=a₃•a_m，解出即可得出．

（3）由题意可得：=a₃，n₁＞5．公差d==．可得6²=a₃[a₅+（n₁﹣5）d]，化为：（n₁﹣17）（a₃﹣6）=0，解出分类讨论即可得出．

【解答】解：（1）S₉==9a₅=9×6=54．

（2）由a₃=3，且a₅=6．可得，解得a₁=0，d=，可得a_n=．

假设存在一项a_m（m是正整数），使得a₃，a₅，a_m成等比数列，

则=a₃•a_m，

∴6²=3×，解得m=9．

∴存在一项a₉，使得a₃，a₅，a₉成等比数列．

（3）由题意可得：=a₃，n₁＞5．

公差d==．

∴6²=a₃[a₅+（n₁﹣5）d]=a₃，

化为：（n₁﹣17）（a₃﹣6）=0，

解得a₃=6，或n₁=17．

∴当a₃=6时，=6（n₁＞5），满足题意．

当n₁=17时．化为﹣7a₃+6=0，即（a₃﹣6）（a₃﹣1）=0，

解得a₃=6，或1．

综上可得：a₃=6，或1．

【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．