已知抛物线
上一点
到其焦点
的距离为4；椭圆
的离心率
，且过抛物线的焦点.
（I）求抛物线
和椭圆
的标准方程；
（II）过点的直线
交抛物线于
、
两不同点，交
轴于点
，已知
，求证：
为定值.
（III）直线
交椭圆于
，
两不同点，，在
轴的射影分别为
，
，
，若点S满足：
，证明：点S在椭圆上.
已知抛物线上一点到其焦点的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点.
（I）求抛物线和椭圆的标准方程；
（II）过点的直线交抛物线于、两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值.
（III）直线交椭圆于，两不同点，，在轴的射影分别为，，，若点S满足：，证明：点S在椭圆上.
解析：（Ⅰ）抛物线上一点
到其焦点的距离为
；
抛物线的准线为
抛物线上点到其焦点的距离
等于到准线的距离
所以
,所以
抛物线的方程为
椭圆
的离心率,且过抛物线的焦点
所以
，
,解得
所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ)直线的斜率必存在,设为
,设直线
与椭圆交于
则直线的方程为
, 
联立方程组:
所以
,所以
(*)
由
得:
得: 
所以
将(*)代入上式,得
(Ⅲ)设
所以
,则
由
得
(1)
,(2) 
(3)
(1)+(2)+(3)得:
即满足椭圆
的方程
命题得证