（1），其中k≤n（n，k∈N*），设F（x）=
f0（x2）+
f1（x2）+…+
fk（x2）+…+
fn（x2），x∈［-1，1］.（1）写出fk（1）；
（2）证明：对任意的x1，x2∈［-1，1］，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）-n-1.
（1），其中k≤n（n，k∈N*），设F（x）=f0（x2）+f1（x2）+…+fk（x2）+…+fn（x2），x∈［-1，1］.（1）写出fk（1）；
（2）证明：对任意的x1，x2∈［-1，1］，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）-n-1.
（1）解:由已知推得fk（x）=（n-k+1）·xn-k，从而有fk（1）=n-k+1.
（2）证明:证法1：当-1≤x≤1时，
F（x）=x2n+n
x2（n-2）+…+（n-k+1）x2（n-k）+…+2nx2+1，当x＞0时，F′（x）＞0,所以F（x）在［0，1］上为增函数.
因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在［-1，0］上为减函数.
所以对任意的x1，x2∈［-1，1］，|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0）.
F（1）-F（0）==
+（n-1）
+…+（n-k+1）
+…+2
=n
+…+（n-k+1）·
+…+2
+=
.∵（n-k+1）
n+
n=n
+
n（k=1，2，3…n-1），F（1）-F（0）=n（
+…+
）+（
+
…+
n）+
=n（2n-1-1）+2n-1=2n-1（n+2）-n-1.因此结论成立.
证法2：当-1≤x≤1时，
F（x）=x2n+n
x2（n-2）+…+（n-k+1）
x2（n-2）+…+2
nx2+1，当x＞0时，F′（x）＞0，所以F（x）在［0，1］上为增函数.
因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在［-1，0］上为减函数.
所以对任意的x1，x2∈［-1,1］,|F(x1)-F(x2)|＜F(1)-F(0).
F(1)-F(0)= 
+(n-1)
+…+(n-k+1)
+…+2
.又因F（1）-F（0）=2
+…+k
+…+n
n+
，所以2［F（1）-F（0）］=（n+2）［
+…+
+…+
］+2
.F（1）-F（0）=+
+
+…+
+…+
］+
=
因此结论成立.
证法3：当-1≤x≤1时，
F（x）=x2n+n
nx2（n-2）+…+（n-k+1）·
x2（n-k）+…+2
nx2+1，当x＞0时，F′(x)＞0,所以F（x）在［0，1］上为增函数.
因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在［-1，0］上为减函数.
所以对任意的x1，x2∈［-1，1］，|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0）.
F（1）-F（0）=
+（n-1）
+…+（n-k+1）
+…+2
x［（1+x）n-xn］=x［
xn-2+…+
xn-k+…+
x+1］=
xn-1+…+
xn-k+1+…+
x2+x，对上式两边求导得
（1+x）n-xn+nx（1+x）n-1-nxn=n
xn-2+…（n-k+1）·
xn-k+…+2
x+1.F（x）=（1+x2）n+nx2（1+x2）n-1-nx 2n，∴F（1）-F（0）=2n+n2n-1-n-1=（n+2）2n-1-n-1.
因此结论成立.