（本小题共14分）
如图，在Rt
中，
，点
、
分别在线段
、
上，且
，将
沿
折起到
的位置，使得二面角
的大小为
.
（1）求证：
；
（2）当点为线段的中点时，求
与平面
所成角的大小；
（3）求四棱锥
体积的最大值.
 |
（本小题共14分）
如图，在Rt中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）当点为线段的中点时，求与平面所成角的大小；
（3）求四棱锥体积的最大值.
|
（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：在Rt
中，
，∴
.∴
.
又∵
，
∴
平面
. …………………………………2分
又∵
平面，∴
. ………………4分
（Ⅱ）解法一：过点
作
交
于
，连结
.
∵平面，
平面，
∴
.
∵
，∴
平面
.
∴
是
在平面内的射影.
∴
是与平面所成的角. ………………………………………6分
∵点
为线段
的中点，
，
∴
.
∵，
∴
是二面角
的平面角. ………………………………………8分
∵二面角的大小为
， ∴
.
在Rt△
中，
.∴
.
在Rt△
中，
.∴在Rt△
中，
.
∴与平面所成角的大小为
. …………………………………9分
解法二：如图，以为原点建立空间直角坐标系
．
∵点为线段的中点，，
∴.
∵，
∴是二面角的平面角.
∵二面角的大小为，
∴.
………………………………………6分
可得
，
.
则
，且平面的法向量n
.
∴
.∴与平面所成角的大小为
. …………9分
（Ⅲ）设
，则
.同（Ⅱ）可求得
.
在等腰直角三角形
中，
，
∴
. ∴
.………11分
设
，
，则
，由
得
.
当
时，单调递增；当
时，单调递减.
∴当
时，四棱锥
体积取最大值为
.…………………………14分