如图，在四棱柱
中，
底面
，
，
，且
，点E在棱AB上，平面
与棱
相交于点F.
（Ⅰ）证明：
∥平面
；
（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积的最大值.
如图，在四棱柱中，底面，，，且 ，点E在棱AB上，平面与棱相交于点F.
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥的体积的最大值.
（Ⅰ）证明：因为
是棱柱，所以平面
平面
.
又因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
∥
. 又因为
平面
，
平面，
所以
∥平面.
（Ⅱ）解：因为
底面，
，
所以
，
，
两两垂直，以A为原点，以，
，分别为
轴、
轴和
轴，如图建
立空间直角坐标系. 则
，
，
，
所以 
,
.
设平面
的法向量为
由
，
,
得
令
,得
.
又因为平面
的法向量为
， 所以
，
由图可知，二面角
的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为
.
（Ⅲ）解：过点F作
于点
,
因为平面
平面，
平面
,所以
平面
,
所以
.
因为当F与点
重合时，
取到最大值
2（此时点E与点B重合），
所以当F与点重合时，三棱锥
的体积的最大值为
.