函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率

函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数y=x³﹣x²+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；

②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点A、B是抛物线y=x²+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；

④设曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁﹣x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t 的取值范围是（﹣∞，1）．以上正确命题的序号为（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

A点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x³﹣x²+1、y=x²+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“弯曲度”，然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．

【解答】解析：①错：解：对于（1），由y=x³﹣x²+1，得y′=3x²﹣2x，

则k_A=1，k_B=8，则|k_A﹣k_B|=7

y₁=1，y₂=5，则|AB|=，

φ（A，B）=，①错误；

②对：如y=1时成立；

③对：φ（A，B）===；

④错：对于（4），由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）==．

t•φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．

故答案为：②③

【点评】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解．