如图，以AB为直径的半圆O 交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G.
（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）若
，
，求EF的长.
如图，以AB为直径的半圆O 交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G.
（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）若，，求EF的长.
（1）证明：连接OD. ························· 1分
∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点，
∴
∥BC . ························ 2分
∵DE⊥BC，∴DE⊥DO，又∵点D在圆上，
∴DE为半圆O的切线. ···················· 4分
（2）解：∵AB为半圆O的直径，DE⊥BC ，
∴AF⊥BF，∴∠GEB=∠GFE=
，
∵∠BGE=∠EGF ， ∴△BGE∽△EGF
∴
，∴
（也可以由射影定理求得）
∵，， ∴
. ··············· 6分
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
. ··········· 8分
