在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(
,0),B(-,0),直线PA和PB的斜率之积为-
.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合),求证:直线MQ过x轴上一定点.
在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA和PB的斜率之积为-.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合),求证:直线MQ过x轴上一定点.
(1)解:由题意知:
·
=-.
化简得
+y2=1(y≠0).
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),
l:x=my+1,代入+y2=1(y≠0)整理得
(m2+2)y2+2my-1=0.
y1+y2=
,y1y2=
,
MQ的方程为y-y1=
(x-x1),
令y=0,得x=x1+
=my1+1+
=
+1=2.
∴直线MQ过定点(2,0).