n2（n≥4,且n∈N+)个正数排成一个n列的数阵：        第1列     

        第1列        第2列        第3列        …        第n列

第1行    a₁₁                   a₁₂                 a₁₃          …          a_1n

第2行    a₂₁                   a₂₂                 a₂₃                …          a_2n

第3行    a₃₁                   a₃₂                 a₃₃                …          a_3n

…        …             …           …           …           …

第n行     a_n1                   a_n2                a_n3                 …          a_nn

    其中a_ik(1≤i≤n,1≤k≤n，且i,k∈N

(1)求a₁₁和a_ik;

(2)设A_n=a_1n+a_2(n-1)+a_3(n-2)+…+a_n1,

证明：当n为3的倍数时，(A_n+n)能被21整除.

(1)解：设第一行公差为d,则a_ik=［a₁₁+(k-1)d］×2^i-1.

∵a₂₃=8,a₃₄=20.

∴解得a₁₁=2,d=1.

∴a₁₁=2,a_ik=(k+1)×2^i-1(1≤i≤n,1≤k≤n，且n≥4,i,k,n∈N

(2)证明：∵A_n=a_1n+a_2(n-1)+a_3(n-2)+…+a_n1

=(n+1)+n×2+(n-1)×2²+…+2×2^n-1,①

∴2A_n=(n+1)×2+n×2²+(n-1)×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ,②

②-①,得A_n=2+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ-(n+1)

=2ⁿ-2+2×2ⁿ-(n+1)

=3×(2ⁿ-1)-n.

∴A_n+n=3×(2ⁿ-1).

下面用数学归纳法证明：当n为3的倍数时，（A_n+n）能被21整除.

设n=3m(m∈N

A^3m+3m=3×(2^3m-1).

（1）当m=2时，A₆+6=3×(2⁶-1)=21×9,能被21整除.∴当m=2时，结论成立.

（2）假设当m=k(k≥2)时，结论成立.

即A_3k+3k=3×(2^3k-1)能被21整除.

当m=k+1时,

A_3(k+1)+3(k+1)=3(2^3(k+1)-1)=3(2^3k×8-1)

=3(2^3k+7×2^3k-1)

=3(2^3k-1)+21×2^3k能被21整除.

∴当m=k+1时，结论成立.

由（1）（2）可知，当n为3的倍数时，A_n+n,能被21整除.