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如图,直三棱柱ABC—A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别

如图,直三棱柱ABC—A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点,

       (1)求

的长；

       (2)求cos〈

〉的值；

       (3)求证:A1B⊥C1M.

      

答案

解析:如题图,以C为原点建立空间直角坐标系O—xyz.

       (1)依题意,得B(0,1,0),N(1,0,1),

       ∴|

|=

       (2)依题意,得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),

       ∴

={1,-1,2},={0,1,2},=3,||=,||=.

       ∴cos〈

,〉=.　　

       (3)依题意,得C1(0,0,2),M(

,,2),={-1,1,-2},={,,0},

       ∴

·=-++0=0.

       ∴

⊥.   ∴A1B⊥C1M.

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