.（1）求a1，a3；
（2）求数列{ an }的通项an .
.（1）求a1，a3；
（2）求数列{ an }的通项an .
解：
（1）据条件得①当n=1时，由
，即有
，
解得
，因为a1为正整数，故a1=1.
当n=2时，由
，解得8＜a3＜10,所以a3=9.
(2)方法一：由a1=1,a2=4,a3=9,猜想：an=n2
下面用数学归纳证明.
当n=1,2时，由（1）知an=n2均成立;
假设
成立，即ak=k2,则n=k+1时
由①得
因为
时，(k3+1)-(k+1)2=k(k+1)(k-2)
0.所以
。
k-1
1,所以
又
，所以
故ak+1=(k+1)2,即n=k+1时，an=n2成立。
由
,
知，对任意
,an=n2.
(2)方法二：
由a1=1,a2=4,a3=9, 猜想：an=n2
下面用数学归纳法证明.
当n=1,2时，由（1）知an=n2均成立;
假设
成立，即ak=k2,则n=k+1时
由①得
即
②
由②左式，得
，即（k-1）ak+1＜k3+k2-k,因为两端为整数，
则（k-1）ak+1
k3+k2-k-1=(k+1)2(k-1).于是ak+1
(k+1)2 ③
又由②右式，
，
则（k2-k+1）ak+1＞k3(k+1).
因为两端为正整数，则(k2-k+1)ak+1
k4+k3+1,
所以
。
又因
，ak+1为正整数，则
④
据③④ak+1=(k+1)2,即n=k+1时，an=n2成立.
由
、
知，对任意
，
.