已知椭圆
过点
，其焦距为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程； （Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
，则椭圆在其上一点
处的切线方程为
，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点
为在第一象限中的任意一点，过作
的切线
，分别与
轴和
轴的正半轴交于
两点，求
面积的最小值；
（ii）（1班完成）如图（2），过椭圆
上任意一点
作的两条切线
和
，切点分别为
.当点在椭圆
上运动时，是否存在定圆恒与直线
相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.（1班完成）
 |
图（1） 图（2）
解：（I）依题意得：椭圆的焦点为
，由椭圆定义知：
，
所以椭圆的方程为
. （6分）<4分>
（II）（ⅰ）设
，则椭圆在点B处的切线方程为
（7分）<5分>
令
，
，令
，所以
（8分）<6分>
又点B在椭圆的第一象限上，所以
（10分）<7分>
（12分）<8分>
当且仅当
所以当
时，三角形OCD的面积的最小值为
（14分）<9分>
（Ⅲ）设
，则椭圆在点
处的切线为：
，又过
点，所以
，同理点
也满足
<10分>
所以都在直线
上，
即：直线MN的方程为
<12分>
所以原点O到直线MN的距离
，<13分>
所以直线MN始终与圆
相切. <14分>