已知椭圆E： +=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意

已知椭圆E： +=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．

（Ⅰ）求直线PA与PB的斜率乘积的值；

（Ⅱ）设Q（t，0）（t≠），过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）由题意知．设点P（x，y）（y≠0），从而可得，从而解得．

（Ⅱ）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A；再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为x=ay+t，（a∈R），联立化简可得（2a²+3）y²+4aty+2t²﹣6=0，从而利用韦达定理可得y₁+y₂=﹣，y₁y₂=；化简•=（x₁+，y₁）（x₂+，y₂）=a²y₁y₂+（+t）a（y₁+y₂）+（+t）²+y₁y₂，代入化简可得5t²+6t+3=0，从而解得．

【解答】解：（Ⅰ）．设点P（x，y）（y≠0），

则有，

即，

∴=．

（Ⅱ）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A；

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

∵MN与x轴不重合，

∴设直线MN的方程为x=ay+t，（a∈R），

由化简得，

（2a²+3）y²+4aty+2t²﹣6=0，

由题意可知△＞0成立，且y₁+y₂=﹣，y₁y₂=；

•=（x₁+，y₁）（x₂+，y₂）

=（ay₁+t+，y₁）（ay₂+t+，y₂）

=（ay₁+t+）（ay₂+t+）+y₁y₂

=a²y₁y₂+（+t）a（y₁+y₂）+（+t）²+y₁y₂

将y₁+y₂=﹣，y₁y₂=代入上式可得，

•=a²﹣（+t）a+（+t）²+=0，

即=0，

即a²（2t²﹣6﹣4t﹣4t²+2t²+4t+6）+2t²﹣6+3（+t）²=0，

即5t²+6t+3=0，

解得，t=﹣（舍去）或t=﹣．

故t=﹣．

【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系的判断与应用，同时考查了平面向量的应用，同时考查了学生的化简运算的能力．