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如图所示,正方体AC的棱长为1,该正方体内有两球相外切,并且又分别与

如图所示,正方体AC的棱长为1,该正方体内有两球相外切,并且又分别与正方体内切.

(1)求两球半径之和;

(2)球的半径是多少时,两球体积之和最小?

答案

解析:(1)四边形ABCD为过球心的截面,易知它是球心的对角面,如图所示.

AC=,设两球半径分别为R、r,

则R+r+ (R+r)= ,∴R+r=.

(2)设两球体积之和为V,则

V=π(R3+r3)=π(R+r)(R2-Rr+r2)=π(R+r)［(R+r)2-3Rr］

=π［3R2-］.

∴当R=时,V有最小值.

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