求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2
的圆的方程．
求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．
解析 法一 设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为
，
∴r2＝
2＋()2，
即2r2＝(a－b)2＋14，①
由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.②
又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，
∴3a－b＝0.③
联立①②③，解得
a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.
故所求的圆的方程是
(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
法二 设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为
，半径为
.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F.
又圆心到直线x－y＝0的距离为
.
由已知，得
2＋()2＝r2，
即(D－
E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤
又圆心在直线3x－y＝0上，
∴3D－E＝0.⑥
联立④⑤⑥，解得
D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.
故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0，或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.