如图，E为正方形ABCD的边BC上一动点，以AE为一边作正方形AEFD，对角

如图，E为正方形ABCD的边BC上一动点，以AE为一边作正方形AEFD，对角线AF交边CD于H，连EH．

①BE+DH=EH；②EF平分∠HEC；③若E为BC的中点，则H为CD的中点；④．

其中正确的是（　　）

　   A． ①②④              B． ①③④                    C． ①②③                    D． ①②③④

A

考点：    四边形综合题．

分析：    延长CB到M，使BM=DH，连接AM，由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠EAF=45°，∠DAB=90°，AD=AB，推出△AMB≌△ADH，于是得到∠1=∠3，AM=AH，得出△AMB≌△ADH，于是得到ME=EH，∠AEB=∠AEH，由于BE+BM=EH，即可得到BE+DH=EH；故①正确；由于∠AEF=90°，于是得到∠AEH+∠HEF=AEB+∠FEC=90°，于是得到∠HEF=∠FEC，得到故②正确；当若E为BC的中点，H为CD的中点时，得到BE=CE，DH=CH，由于BE+DH=EH，而CE+CH＞EH，故③错误；根据BE+DH=EH，于是得到（BE+DH）²=EH²=CE²+CH²，通过化简得到2BE•DH=2BC²﹣2BC•BE﹣2BC•DH ①，根据S_{正方形ABCD}=2S_△AME+S_△CEH，于是得到BC²=2×（BE+BM）•BC+CE•CH ②，把②代入①得：2BE•DH=CE•CH，即可得到，故④正确．

解答：    解：延长CB到M，使BM=DH，连接AM，

∵四边形ABCD，AEFG是正方形，

∴∠EAF=45°，∠DAB=90°，AD=AB，

∴∠1+∠2=45°，

在△AMB与△ADH中，，

∴△AMB≌△ADH，

∴∠1=∠3，AM=AH，

∴∠2+∠3=45°，

∴∠MAE=∠HAE，

在△AME与△AHE中，，

∴△AMB≌△ADH，

∴ME=EH，∠AEB=∠AEH，

∴BE+BM=EH，

即BE+DH=EH；故①正确；

∵∠AEF=90°，

∴∠AEH+∠HEF=AEB+∠FEC=90°，

∵∠AEB=∠AEH，

∴∠HEF=∠FEC，

∴EF平分∠HEC；故②正确；

当若E为BC的中点，H为CD的中点时，

∴BE=CE，DH=CH，

∵BE+DH=EH，

而CE+CH＞EH，故③错误；

∵BE+DH=EH，

∴（BE+DH）²=EH²=CE²+CH²，

∴BE²+2BE•DH+DH²=（BC﹣BE）²+（CD﹣DH）²，

∵BC=CD，

∴BE²+2BE•DH+DH²=BC²﹣2BC•BE+BE²+BC²﹣2BC•DH+DH²，

2BE•DH=2BC²﹣2BC•BE﹣2BC•DH ①，

∵S_{正方形ABCD}=2S_△AME+S_△CEH，

即BC²=2×（BE+BM）•BC+CE•CH ②，

把②代入①得：2BE•DH=CE•CH，

∴，故④正确；

∴正确的是①②④，

故选A．

点评：    本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理，三角形的面积，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．