函数，． （Ⅰ）讨论的极值点的个数； （Ⅱ）若对于，总有.（i）

函数，．

（Ⅰ）讨论的极值点的个数；

（Ⅱ）若对于，总有.（i）求实数的范围； （ii）求证：对于，不等式成立．

解：

（Ⅰ）解法一：由题意得， 令

     （1）当，即时，对恒成立

即对恒成立，此时没有极值点；…………2分

（2）当，即

       ①时，设方程两个不同实根为，不妨设

       则，故

       ∴时；在时

       故是函数的两个极值点.

②时，设方程两个不同实根为，

       则，故

       ∴时，；故函数没有极值点.   ……………………………4分

   综上，当时，函数有两个极值点；

        当时，函数没有极值点.       ………………………………………5分

解法二：,                 …………………………………………1分

,

①当，即时，对恒成立，在单调增，没有极值点；        ……………………………………………………………3分

    ②当，即时，方程有两个不等正数解，

不妨设，则当时，增；时，减；时，增，所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点.

综上所述，当时，没有极值点；

当时，有两个极值点. ………………………………5分

（Ⅱ）（i），

由，即对于恒成立，设，

，

，时，减，时，增，

，．               ……………………………………9分

（ii）由（i）知，当时有，即：，……①当且仅当时取等号, ……………………………10分

以下证明：，设，，

当时减，时增，

，，……②当且仅当时取等号；

由于①②等号不同时成立，故有.……………………………12分