函数
，
．
（Ⅰ）讨论
的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于
，总有
.（i）求实数
的范围； （ii）求证：对于，不等式
成立．
函数，．
（Ⅰ）讨论的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于，总有.（i）求实数的范围； （ii）求证：对于，不等式成立．
解：
（Ⅰ）解法一：由题意得
， 令
（1）当
，即
时，
对
恒成立
即
对恒成立，此时没有极值点；…………2分
（2）当
，即
①
时，设方程
两个不同实根为
，不妨设
则
，故
∴
时
；在
时
故是函数的两个极值点.
②
时，设方程两个不同实根为，
则
，故
∴时，；故函数没有极值点. ……………………………4分
综上，当时，函数有两个极值点；
当
时，函数没有极值点. ………………………………………5分
解法二：
, …………………………………………1分
,
①当
，即
时，
对
恒成立，
在
单调增，没有极值点； 
……………………………………………………………3分
②当
，即
时，方程
有两个不等正数解
，
不妨设
，则当
时，
增；
时，
减；
时，增，所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点.
综上所述，当
时，没有极值点；
当
时，有两个极值点. ………………………………5分
（Ⅱ）（i）
，
由，即
对于恒成立，设
，
，
，
时，
减，
时，
增，
，
． ……………………………………9分
（ii）由（i）知，当
时有，即：
，
……①当且仅当
时取等号, ……………………………10分
以下证明：
，设
，
，
当
时
减，
时
增，
，
，……②当且仅当
时取等号；
由于①②等号不同时成立，故有.……………………………12分