如图所示，四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，D在BC边上

如图所示，四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，D在BC边上，连接CF．

（1）求证：BC⊥CF；

（2）若△ABC的面积为16，BD：DC=1：3，求正方形ADEF的面积；

（3）当（2）的条件下，连接AE交DC于G，求的值．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）由正方形的性质及等腰直角三角形的性质证明△ABD≌△ACF即可；

（2）由三角形的面积可以求出AB、AC的值，由勾股定理就可以求出BC的值，就可以求出BD、CD的值，作DH⊥AB于点H，由勾股定理就可以求出BH=DH的值，进而得出AH的值，由勾股定理就可以求出AD²的值，即可得出结论；

（3）设EF交BC于点M，设CM=x，则可以表示出MD，由勾股定理就可以得出FM的值，由△FCM∽△DEF就可以得出x的值，再由△AGD∽△EGM就可以得出GM的值，进而求出结论．

【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，

∴AD=AF=EF=DE，AB=AC，∠DAF=∠BAC=∠DEF=∠ADE=90°，∠B=∠ACB=45°，AD∥EF．

∴∠DAF﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC，

∴∠DAB=∠FAC．

在△ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴∠B=∠ACF，BD=CF，

∴∠ACF=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

即∠BCF=90°．

∴BC⊥CF；

（2）设AB=BC=x，由题意，得

=16，

∴x=4．

∴BC=8．

∵BD：DC=1：3，

∴BD=8×=2，CD=8﹣2=6．

作DH⊥AB于点H，

∴∠DHB=∠DHA=90°，

∴∠BDH=45°，

∴∠B=∠BDH，

∴BH=DH．

设BH=DH=a，由勾股定理，得

a=，

∴AH=4﹣=3．

在Rt△ADH中，由勾股定理，得

AD²=20．

∴AD=2．

∵S正方形ADEF=AD²，

∴正方形ADEF的面积为20；

（3）设EF交BC于点M，设CM=x，则DM=6﹣x．

∵BD=CF，

∴CF=2．

在Rt△CMF中，由勾股定理，得

FM=．

∵∠DEF=∠FCM=90°，

∠DME=∠FMC，

∴△FCM∽△DEF，

∴，

∴，

∴，

解得：x₁=1，x₂=﹣4（舍去）

∴CM=1，FM=，

∴ME=．DM=5

∵AD∥EF．

∴△AGD∽△EGM，

∴，

∴=2，

∴DG=2GM，

设GM=b，DG=2b，

∴b+2b=5，

∴b=，

∴GC=，

∴DG=6﹣=．

∴=．

答：的值为．

【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等及相似是关键．