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已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并

已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.

答案

解

:如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0, a),B(-,0),C(,0).

设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2

=x2+(y- a)2+(x+)2+y2+(x-)2+y2

=3x2+3y2-ay+=3x2+3(y-a)2+a2≥a2,

当且仅当x=0,y=a时,等号成立,

∴所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,a),是正三角形ABC的中心.

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