（12分）如图，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，
，D为PA的中点，二面角P—AC—B为120°，PC = 2，AB=2
.
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值.
（12分）如图，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，，D为PA的中点，二面角P—AC—B为120°，PC = 2，AB=2.
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值.
（12分）证明：解:（Ⅰ）取AC中点E，连结DE、BE，
则DE∥PC，PC⊥AC,
∴DE⊥AC……………………………………………………………3分
又△ABC是正三角形，∴BE⊥AC,∴AC⊥平面DEB.
又BD
平面BED,∴AC⊥BD……………………………………….7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC, 
∴∠DEB是二面角P—AC—B的平面角.
∴∠DEB=120°.又AB=2
,其中线BE=
AB=3，DE=
PC=1.
∵AC⊥平面BDE，
又AC平面ABC,
∴平面ABC⊥平面BDE……………………………………………..9分
且交线为BE，过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上.
又∠DEB=120°，
∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角…10分
又△DEB中，DB2=DE2+BE2－2BE·DEcos120°=13,
∴BD=
.由正弦定理：
,
∴sinDBE=
,即BD与底面ABC所成的角的正弦值为…………12分