已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）． （Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在

已知函数f（x）=x²﹣2x+alnx（a∈R）．

（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；

（Ⅱ）求出f（x）的导数，令f'（x）=0，得2x²﹣2x+a=0，对判别式讨论，即当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；

（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即为≥m，求得=1﹣x₁++2x₁lnx₁，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．

【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²﹣2x+2lnx，，

则f（1）=﹣1，f'（1）=2，

所以切线方程为y+1=2（x﹣1），

即为y=2x﹣3．

（Ⅱ）（x＞0），

令f'（x）=0，得2x²﹣2x+a=0，

（1）当△=4﹣8a≤0，即时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（2）当△=4﹣8a＞0且a＞0，即时，由2x²﹣2x+a=0，得，

由f'（x）＞0，得或；

由f'（x）＜0，得．

综上，当时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

当时，f（x）的单调递增区间是，；

单调递减区间是．

（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，

由f'（x）=0，得2x²﹣2x+a=0，则x₁+x₂=1，，，

由，可得，，

==1﹣x₁++2x₁lnx₁，

令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），h′（x）=﹣1﹣+2lnx，

由0＜x＜，则﹣1＜x﹣1＜﹣，＜（x﹣1）²＜1，﹣4＜﹣＜﹣1，

又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减，

即有h（x）＞h（）=﹣﹣ln2，即＞﹣﹣ln2，

即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．