如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.

（1）当t=4时，求直线AB的解析式；

（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；

（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）当t=4时，B(4,0)

设直线AB的解析式为y= kx+b .

把 A(0,6)，B(4,0)  代入得：

             , 解得：  ,

∴直线AB的解析式为：y=－x+6.

(2) 过点C作CE⊥x轴于点E

由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.

∴，

∴BE= AO=3，CE= OB= ，

∴点C的坐标为(t+3，).

方法一：

S梯形AOEC= OE・(AO+EC)= (t+3)(6+)=t2+t+9，

S△ AOB= AO・OB= ×6・t=3t，

S△ BEC= BE・CE= ×3×= t，

∴S△ ABC= S梯形AOEC－ S△ AOB－S△ BEC

           = t2+t+9－3t－t = t2+9.

方法二：

∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= AB・BC= BC2.

在Rt△ABC中，BC2= CE2+ BE2 = t2+9，

即S△ ABC= t2+9.

(3)存在，理由如下：

①当t≥0时.

Ⅰ.若AD＝BD.

又∵BD∥y轴

∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，

∴∠OAB=∠BAD.

又∵∠AOB=∠ABC，

∴△ABO∽△ACB，

∴，

∴= ，

∴t=3，即B(3，0).

Ⅱ.若AB＝AD.

延长AB与CE交于点G，

又∵BD∥CG

∴AG＝AC

过点A画AH⊥CG于H．

∴CH＝HG＝CG

由△AOB∽△GEB，

得＝ ，

∴GE=  .

又∵HE＝AO＝６，CE＝

∴＋６＝×（＋）

∴t2-24t-36=0

解得：t=12±6. 因为 t≥0，

所以t=12＋6，即B(12＋6，0).

Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD ≠ AB.

                  当t≥12时，BD≤CE<BC<AB.

∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况.

②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角.

设AD=AB，

过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F.

可求得点C的坐标为(t+3，)，

∴CF=OE=t+3，AF=6－，

由BD∥y轴，AB=AD得，

∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB

∴∠BAO=∠FAC，

又∵∠AOB=∠AFC=90°，

∴△AOB∽△AFC，

∴  ，      

 ∴，    ∴t2-24t-36=0

解得：t=12±6.因为－3≤t<0，

所以t=12－6，即B (12－6，0).

③当t<－3时，如图，

∠ABD是钝角.设AB=BD，

过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，

可求得点C的坐标为(t+3，)，

∴CF= －(t+3)，AF=6－，

∵AB=BD，

∴∠D=∠BAD.

又∵BD∥y轴，

∴∠D=∠CAF，

∴∠BAC=∠CAF.

又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，

∴△ABC≌△AFC，

∴AF＝AB，CF=BC，

∴AF=2CF，即6－ =－2(t+3)，

解得：t=－8，即B(－8，0).

综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：

B1 (3，0)，B2 (12＋6，0)，B3 (12－6，0)，B4(－8，0).