,0)，且与直线x=-
相切，其中p＞0：（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β为定值θ(0＜θ＜π＝时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
,0)，且与直线x=-相切，其中p＞0：（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β为定值θ(0＜θ＜π＝时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（1）设动圆圆心为M(x,y)，则,
∴y2=2px(p＞0).
（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2),由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1,x2≠0，所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x1=,x2=
，
将y=kx+b代入y2=2px去x得ky2-2py+2pb=0，
由韦达定理知，
y1+y2=
,y1·y2=
.①
a.当θ=
时，
即α+β=
，tanα·tanβ=1，
∴
=1,即x1x2-y1y2=0.
∴y1y2=4p2.
由①式知
=4p2,∴b=2pk.
因此，直线AB的方程可表示为y=kx+2pk，
即k(x+2p)-y=0,∴直线AB恒过定点(-2p,0).
b.当θ≠
时，由α+β=θ得
tanθ=tan(α+β)=
，
将①式代入上式整理化简，得tanθ=
,∴b=
+2pk，
此时，直线AB的方程可表示为
y=kx+
+2pk，即k(x+2p)-(y-
)=0.
∴直线AB恒过定点(-2p,
).
根据a、b可知，当θ=
时，AB恒过定点(-2p,0)；
当θ≠
时，直线AB恒过定点(-2p,
).