已知数列
的各项均为正数，前
项和为
，且
，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设
，
是数列
的前项和，若
对于任意
恒成立，求实数
的取值范围.
已知数列的各项均为正数，前项和为，且，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，是数列的前项和，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
解：(1) ∵Sn＝
(n∈N*)， ∴Sn－1＝
(n≥2).
∴ an＝
(n≥2)
理得：(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋an－1)
∵数列{an}的各项均为正数，∴an＋an－1≠0，
∴an－an－1＝1(n≥2).
当n＝1时，a1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列. …………………… 6分
(2) 由(1)得Sn＝
∴bn＝
＝2(
－
)
∴Tn＝2[(1－
)＋(－
)＋(－
)＋…＋(－)]＝2(1－)＝
∵
， ∴
，
∴λ≤1，故λ的取值范围为(－∞，1] …………………………12分