已知
四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．
(1)求正视图的面积；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积；
(3)求证：AC⊥平面PAB.
已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．
(1)求正视图的面积；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积；
(3)求证：AC⊥平面PAB.
解 (1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.
又∵△PBC为正三角形，
∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC，
∴PE2＝PC2－CE2＝3.
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE.
∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝
.
正视图的面积为S＝
×2×＝.
(2)由(1)可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝，底面积为
∴四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝
S·PA＝×
×＝
.
(3)证明：∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC.
∵在直角三角形ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝2，
在直角三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝2，
∴BC2＝AA2＋AC2＝4，∴△BAC是直角三角形．
∴AC⊥AB.
又∵AB∩PA＝A，∴AC⊥平面PAB.