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选做题（选修4—1:几何证明选讲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BE平分

选做题（选修4—1:几何证明选讲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）若AD=2,AE=6，求EC的长.

答案

解:(1)证明:取BD的中点O，连结OE.

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE.又∵OB=OE，

∴∠OBE=∠BEO.∴∠CBE=∠BEO.∴BC∥OE.

∵∠C=90°，∴OE⊥AC.∴AC是△BDE的外接圆的切线.

(2)设⊙O的半径为r，则在△AOE中，

OA2=OE2+AE2，即(r+2)2=r2+(6)2，解得r=26.

∴OA=2OE.∴∠A=30°，∠AOE=60°.∴∠CBE=∠OBE=30°.

∴EC=BE=×r=××2=3.

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