如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB.
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;
(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆围成的圆环的面积.(结果保留π)
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB.
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;
(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆围成的圆环的面积.(结果保留π)
【考点】切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
【专题】几何综合题;压轴题.
【分析】(1)只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线,即与小圆的关系是相切.
(2)利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB,从而得出EB=AD,从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者.
(3)根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积.
【解答】解:(1)BC所在直线与小圆相切.
理由如下:
过圆心O作OE⊥BC,垂足为E;
∵AC是小圆的切线,AB经过圆心O,
∴OA⊥AC;
又∵CO平分∠ACB,OE⊥BC,
∴OE=OA,
∴BC所在直线是小圆的切线.
(2)AC+AD=BC.
理由如下:
连接OD.
∵AC切小圆O于点A,BC切小圆O于点E,
∴CE=CA;
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中,,
∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL),
∴EB=AD;
∵BC=CE+EB,
∴BC=AC+AD.
(3)∵∠BAC=90°,AB=8cm,BC=10cm,
∴AC=6cm;
∵BC=AC+AD,
∴AD=BC﹣AC=4cm,
∵圆环的面积为:S=π(OD)2﹣π(OA)2=π(OD2﹣OA2),
又∵OD2﹣OA2=AD2,
∴S=42π=16π(cm2).
【点评】此题考查了学生对切线的性质与判定,全等三角形的判定,勾股定理等知识点的综合运用能力.