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如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分ACB

1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;

2)试判断线段ACADBC之间的数量关系,并说明理由;

3)若AB=8cmBC=10cm,求大圆与小圆围成的圆环的面积.(结果保留π

 

答案

【考点】切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.

【专题】几何综合题;压轴题.

【分析】1)只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线,即与小圆的关系是相切.

2)利用全等三角形的判定得出RtOADRtOEB,从而得出EB=AD,从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者.

3)根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积.

【解答】解:(1BC所在直线与小圆相切.

理由如下:

过圆心OOEBC,垂足为E

AC是小圆的切线,AB经过圆心O

OAAC

CO平分ACBOEBC

OE=OA

BC所在直线是小圆的切线.

2AC+AD=BC

理由如下:

连接OD

AC切小圆O于点ABC切小圆O于点E

CE=CA

RtOADRtOEB中,

RtOADRtOEBHL),

EB=AD

BC=CE+EB

BC=AC+AD

3∵∠BAC=90°AB=8cmBC=10cm

AC=6cm

BC=AC+AD

AD=BCAC=4cm

圆环的面积为:S=πOD2πOA2OD2OA2),

OD2OA2=AD2

S=42π=16πcm2).

【点评】此题考查了学生对切线的性质与判定,全等三角形的判定,勾股定理等知识点的综合运用能力.

 

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