19题图
(Ⅰ)证明:到l1、l2的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆；
(Ⅱ)求到l1、l2的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹.
19题图
(Ⅰ)证明:到l1、l2的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆；
(Ⅱ)求到l1、l2的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹.
19.本小题主要考查直线、圆、椭圆的方程和性质,曲线和方程的关系,轨 迹的概念和求法.利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综 合运用知识的能力.
解: (Ⅰ)设点P(x,y)为动点,则
＋
＝a,
整理得
＋
＝1.
因此,当k＝1时,动点的轨迹为圆；当k≠1时,动点的轨迹为椭圆.
(Ⅱ)设点P(x,y)为动点,则
|y－kx|+|y+kx|＝c
.
当y≥k|x|时,y－kx+y+kx＝c
,即y＝
c
;
当y≤－k|x|时,kx－y－y－kx＝c
,即
y＝－
c
;
当－k|x|<y<k|x|,x>0时,kx－y+y+kx＝c
,即
x＝
c
;
当－k|x|<y<k|x|,x<0时,y－kx－y－kx＝c
,即
x＝－
c
.
综上,动点的轨迹为矩形.