已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于

已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．

（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；

（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC＝，求RG的长．

．解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K

∴∠ODB＝∠OKC＝90°

∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°

∴∠DFK+∠EON＝180°

∵∠DFK+∠HFB＝180°

∴∠HFB＝∠EON

∵∠EON＝2∠EHN

∴∠HFB＝2∠EHN

（2）如图2，连接OB，

∵OA⊥ME，

∴∠AOM＝∠AOE

∵AB⊥OE

∴∠AOE＝∠BOE

∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，

即：∠MOE＝∠AOB

∴ME＝AB

∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN

∴∠EHN＝2∠CHN

∴∠EHC＝∠CHN

∵CH⊥MN

∴∠HPN＝∠HNM

∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM

∴∠EPM＝∠HEM

∴MP＝ME

∴MP＝AB

（3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC，

由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE

∴∠EOC＝∠CON

∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°

∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°

∵OA⊥ME，CH⊥MN

∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，

∴∠AOM+∠OMQ＝90°

∴∠CON＝∠OMQ

∵OC＝OA

∴△OCK≌△MOQ（AAS）

∴CK＝OQ＝HK

∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3

∴OQ：MQ＝4：3

∴设OQ＝4k，MQ＝3k，

则OM＝＝＝5k，AB＝ME＝6k

在Rt△OAC中，AC＝＝＝5k

∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°，

∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，

∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°

∴AF＝BF＝AB•cos∠ABF＝6k•cos45°＝3k

在Rt△ACF中，AF²+CF²＝AC²

即：，解得：k₁＝1，（不符合题意，舍去）

∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5

∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，

在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，

∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1

∴RK＝HK＝4

∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1

∵∠CON＝∠OMQ

∴OC∥ME

∴∠PGO＝∠HEM

∵∠EPM＝∠HEM

∴∠PGO＝∠EPM

∴OG＝OP＝OR＝1

∴∠PGR＝90°

在Rt△HPK中，PH＝＝＝2

∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN

∴△POG∽△PHN

∴，即，PG＝

∴RG＝＝＝．