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如图所示，在两个底面对应边的比是1∶2的三棱台ABC—A1B1C1中，BB1∥

如图所示，在两个底面对应边的比是1∶2的三棱台ABC—A1B1C1中，BB1∥截面A1EDC1，求截面A1EDC1截棱台ABC—A1B1C1成两部分体积之比.

答案

解析：

设三棱台的上、下底面的面积分别为S1和S2，高为h.

∵,∴,∴S2=4S1.

∴

.

∵BB1∥截面A1EDC1，BB1侧面BCC1B1，且侧面BCC1B1与截面交于C1D，∴BB1∥C1D.同理可证BB1∥A1E，∴C1D∥A1E.

∵两底面互相平行，∴A1C1∥DE.

∴截面A1EDC1是平行四边形，∴A1C1=DE.

同样可以证明B1C1=BD，A1B1=BE，

即△A1B1C1≌△BDE.

∴多面体BDE-B1C1A1是棱柱，且.

∵三棱柱BDE-B1C1A1的高等于三棱台ABC-A1B1C1的高，等于h.

∴.

∴三棱台被截面A1EDC1截得的另一部分的体积等于

.

∴截面A1EDC1截三棱台成两部分的体积之比为4∶3.

点评：本题以棱台为载体，讨论直线与平面、平面与平面的平行关系，其关键是证明多面体BDE-B1C1A1为棱柱.

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