.如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点
．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若PB与平面ABCD所成角的正弦值为
，求二面角P-AE-B的余弦值．
.如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P-AE-B的余弦值．
【详解】（1）矩形ABCD中，AB∥CD，
∵AB⊄面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又AB⊂平面ABE，
平面PCD∩平面ABE=EF，
∴AB∥EF，
∵EF⊄面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）取AD中点O，连结OP，
∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，连接OB，则OB为PB在平面ABCD内的射影，
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成角，根据题意知sin∠PBO=
，
∴tan∠PBO=
，由题OB=
，∴PO=2
取BC中点G，连接OG，以O为坐标原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，4，0），设P（0，0，2），C=（-1，4，0），E（-
，2，1）
，
设平面PAE的法向量为
，
于是
，
令x=2，则y=1，z=1
∴平面PAE的一个法向量
=（2，1，1），
同理平面ABE的一个法向量为
=（2，0，3），
∴cos
=
可知二面角P-AE-B为钝二面角
所以二面角P-AE-B的余弦值为-
．