(本小题共14分)
直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.
(Ⅰ)求证:AC⊥B1C;
(Ⅱ)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD;
(Ⅲ)当时,求二面角
的余弦值.
(本小题共14分)
直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.
(Ⅰ)求证:AC⊥B1C;
(Ⅱ)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD;
(Ⅲ)当时,求二面角
的余弦值.
(本小题满分14分)
证明:(Ⅰ)在△ABC中,因为 AB=5,AC=4,BC=3,
所以 AC2+ BC2= AB2, 所以 AC⊥BC.
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1,所以 C C1⊥AC.
因为 BC∩AC =C,
所以 AC⊥平面B B1C1C.
所以 AC⊥B1C. ………………………5分
(Ⅱ)证明:连结BC1,交B1C于E,DE.
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中点,
所以 侧面B B1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线,
所以 DE// AC1.
因为 DE平面B1CD, AC1
平面B1CD,
所以 AC1∥平面B1CD. ………………………9分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知AC⊥BC,
所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 0, c),B1 (3, 0, 4).
设D (a, b, 0)(,
),
因为 点D在线段AB上,且, 即
.
所以 ,
,
.
所以 ,
,
.
平面BCD的法向量为.
设平面B1 CD的法向量为,
由 ,
, 得
,
所以 ,
,
.
设二面角的大小为
,
所以 .
所以 二面角的余弦值为
. ………………………14分