(本小题共14分) 直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在A

(本小题共14分)

直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点DAB上.

(Ⅰ)求证:ACB1C

(Ⅱ)若DAB中点,求证:AC1∥平面B1CD

(Ⅲ)当时,求二面角的余弦值.

答案

(本小题满分14分)

证明:(Ⅰ)在△ABC中,因为  AB=5,AC=4,BC=3,

           所以 AC2+ BC2= AB2,  所以  ACBC.                      

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1,所以 C C1AC.                  

因为 BCAC =C

所以 AC⊥平面B B1C1C.     

所以 ACB1C.              ………………………5分

(Ⅱ)证明:连结BC1,交B1CEDE

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1DAB中点,

所以 侧面B B1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线,

所以 DE// AC1.                                            

因为 DE平面B1CD AC1平面B1CD,                    

所以 AC1∥平面B1CD.                                      ………………………9分

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知ACBC

所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.             

B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 0, c),B1 (3, 0, 4).

D (a, b, 0)(),

因为 点D在线段AB上,且, 即

所以

所以

平面BCD的法向量为

设平面B1 CD的法向量为

, 得

所以 .                     

设二面角的大小为

所以 

所以  二面角的余弦值为.                  ………………………14分

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