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已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的定义域为［-1，1］，记|f(x)|的最大值为M.(1)不

已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的定义域为［-1，1］，记|f(x)|的最大值为M.

(1)不等式M≥能成立吗？试说明理由；

(2)当M=时，求f(x)的解析式.

答案

解析：（1）由已知得：|f(0)|≤M,|f(1)|≤M,|f(-1)|≤M,

因|2f(0)-f(1)-f(-1)|=2,|2f(0)-f(1)-f(-1)|≤2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|.

故2≤2M+M+M,即M≥

.

(2)当M=

时，|f(0)|≤,即-≤b≤                                       ①

|f(1)|≤

,即-≤1+a+b≤.                                                   ②

|f(-1)|≤

,即-≤1-a+b≤.                                                   ③

②+③得，-1≤2+2b≤1,所以-

≤b≤-.                                    ④

由①④得b=-

,代入②得-1≤a≤0.

将b=-

代入③得-1≤-a≤0,即0≤a≤1,所以a=0.所以当M=时，f(x)=x2-.

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