如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中，P是AC与BD的交点，M是CC的中点．
（1）求证：AP⊥平面MBD；
（2）求直线BM与平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．
（请注意把答案填写在答题卡上）
如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中，P是AC与BD的交点，M是CC的中点．
（1）求证：AP⊥平面MBD；
（2）求直线BM与平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．
（请注意把答案填写在答题卡上）
解：如图，以D为坐标原点，向量，，为单位正交基向量，
建立空间直角坐标系D—xyz．则P(，，0)，M(0，1，)．
（1）=(－，，－1)，＝(1，1，0)，
＝(0，1，)，所以·＝0，·＝0．
所以⊥，⊥． 又因为BD∩DM＝D，所以AP⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取n=(1，－1，2)为平面MBD的一个法向量．又＝(－1，1，)，
所以cos<n，>＝＝－ ＝－ ．
所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为．
（3）=(0，1，0)，=(－1，0，)．设n1＝(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，则
解得 即可取n1＝(1，0，2)．
由（1）可知，可取n=(1，－1，2)为平面MBD的一个法向量．
所以cos< n，n1>＝＝．所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为．