设
是数
的任意一个全排列，定义
，其中
.
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列
的个数.
设是数的任意一个全排列，定义，其中.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.
解：（Ⅰ）
.
（Ⅱ）数
的
倍与
倍分别如下：
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为
，所以
.
对于排列
，此时
，
所以的最大值为
.
（Ⅲ）由于数
所产生的
个数都是较小的数，而数
所产生的个数都是较大的数，所以使取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数
和
既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设
，并参照下面的符号排列
△○□△○□△○□△○
其中
任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入
个圆圈○中，共有
种不同的填法；填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为
，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为
.