对于定义域为
的函数
，如果存在区间
，同时满足：
①
在
内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，
则称是该函数的“优美区间”．
（1）求证：
是函数
的一个“优美区间”．
（2）求证：函数
不存在“优美区间”．
（3）已知函数
（
）有“优美区间”，当
变化时，求出
的最大值．
对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，
则称是该函数的“优美区间”．
（1）求证：是函数的一个“优美区间”．
（2）求证：函数不存在“优美区间”．
（3）已知函数（）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值．
解：（1）
在区间上单调递增．
分
又
，
，
值域为，
区间是
的一个“优美区间”.
分
（2）设是已知函数定义域的子集．
，
或
，函数在上单调递减．
分
若是已知函数的“优美区间”，则
分
由
得
，
代入
等式不成立，函数不存在优美区间. 
分
（3）设是已知函数定义域的子集．，或，函数
在上单调递增．
分
若是已知函数的“优美区间”，则
分
、
是方程
，即
的两个同号且不等的实数根．
，
，同号，只须
，
即
或
分
，
分
当
时，取最大值
.分