如图，已知四边形
和
都是菱形，平面
平面
，且
，
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
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如图，已知四边形和都是菱形，平面平面，且，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
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（Ⅰ）证明：取AA1的中点为O，连结OB、OC1 ，
∵四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，且∠ACC1=∠BAA1=60°，
∴三角形AA1B和三角形AA1C1都是等边三角形，
∴OB⊥AA1 ，OC1⊥AA1 ，
又∵OB∩OC1=O，
∴AA1⊥平面OBC1，
又∵BC1
平面OBC1，
所以AA1⊥BC1； ……………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OB⊥AA1，
又∵
且交于AA1，OB
∴OB⊥平面AA1C1C，
∴OB⊥OC1，
∴OA1，OC1，OB，三条直线两两垂直， ……………………………………6分
以O为坐标原点，以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则
,
,
，……………………………………7分
∴
,
,
设平面ABC，ABC1的法向量
,
坐标分别为（a，b，c），（a1，b1，c1），
由
,
，可得
，
所以可取
， ……………………………………………9分
同理可取
， ……………………………………………10分
∴
， ……………………………………………11分
又二面角
的平面角为锐角，
所以二面角C-AB-C1的余弦值为
． ……………………………………………12分